香港高級程度會考純粹數學科

香港高級程度會考純粹數學科(英語：HKALE Pure Mathematics)是昔日一個在香港教育制度內的大學預科高等數學課程，公開考試在1980年至2013年間由香港考試及評核局(HKEAA)舉辦。

歷史及概述

課程前身為香港大學入學資格考試(H.K.U. Matriculation Examination)純粹數學課程。

1980年，第一屆由香港考試局（今香港考試及評核局）舉辦的香港高級程度會考純粹數學科考試舉行。

1992年本科首次有教學用的課程綱要，香港課程發展議會編制及發佈純粹數學科學習領域指引《中學課程綱要－純粹數學科 (高級程度) (1992)》 （页面存档备份，存于互联网档案馆），此前只有考試綱要。

2001年4月，發生試題印錯事件，卷二第8題所提供的函數，把「$6-x$」誤印成「$x-6$」，令題目無法算出。考試局在同月27日檢討補救方法後，決定以不重考但調整考生分數的方式處理。

2004年，香港課程發展議會編制及發佈《數學教育學習領域－純粹數學科課程及評估指引 (高級程度) (2004)》（页面存档备份，存于互联网档案馆）。

2009年9月，香港教育界實施三三四高中教育改革新學制課程，當中並沒有純粹數學科，不過教育局總課程發展主任李柏良在新聞報導上指出，純粹數學科及香港高級補充程度會考數學與統計學的內容跟新學制的香港中學文憑考試數學科延伸部分接近。

2012年，最後一屆開放予應屆學校考生參加。

2013年，為自修生舉行的最後一屆香港高級程度會考舉行 。

課程設計及内容

1992年前

考試綱要

根據香港數學教育學會(Hong Kong Association for Mathematics Education)的網誌，由於不成文規定，香港大學入學資格考試的純粹數學科預科課程歸香港大學管理，只有考試綱要並未有教學課程及評估指引綱要發佈，任教老師只能參考歷屆試題來自製教材，部分學校出現教學課程內容過多過深的「超教」情況。

考試綱要/數學領域	早期純粹數學科試題內容
數理邏輯	命题、逆命題及逆否命题、充分必要條件 或（$\lor$）、非（$\neg$）、与（$\land$）、真值表 蕴涵（$\rightarrow$）、反蕴涵（$\leftarrow$）、當且僅當(⇔)、邏輯等價 量化、全稱量化(∀)、存在量化(∃)、唯一量化(∃!) 等價關係（$\sim$）
數學證明	直接證明、反證法——無理數的證明 對稱關係命题、不失一般性(w.l.o.g.) 數學敘述
初等集合論	元素、属于关系 (∈) 集合及集合代數——并集、交集、补集、差集、笛卡儿积、德摩根定律、对称差、冪集、空集 數系——自然数集($\mathbb {N}$)、整数集($\mathbb {Z}$)、有理數集($\mathbb {Q}$)、实数集(ℝ)和複數集(ℂ)之間的子集關係($\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$)
級數及序列	等差數列及等比數列 求和符號(Σ) 及求積符號 (Π) 通項公式、裂項和及裂項積 遞迴關係式
數學歸納法	第一數學歸納法、第二數學歸納法 強數學歸納法 反向歸納法——算術-幾何平均值不等式的證明
二項式定理	階乘 (n!) 二項式系數及帕斯卡三角形
函數及映射	定义域及值域、陪域、区间 單射、雙射與滿射 奇函數與偶函數、週期函數 復合函數、反函數 分段函数、對稱函數 取整函数、符号函数
不等式	絕對值、絕對值不等式 三角不等式 分式不等式 對稱多項式不等式 代數不等式——算術-幾何平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式
線性代數	線性方程組、行向量與列向量、初等变换、階梯形矩陣、高斯消去法、克萊姆法則 矩陣代數運算(矩陣加法、矩陣乘法及其不可交換性、n次冪)及其代數性質、零矩陣、转置矩阵 方陣及行列式、薩呂法則、奇异方阵及非奇异方阵、逆矩阵、单位矩阵 线性映射及$\mathbb {R} ^{2}$上的仿射变换及其变换矩阵——平移、旋轉(旋转矩阵)、反射、缩放、错切
方程理論	多項式、多項式次數、 因式分解、因式定理、餘式定理 多項式除法、綜合除法、多項式輾轉相除法及最大公因數、不可约多项式、艾森斯坦判別法 代數方程、代數基本定理、共軛複根、有理数根定理、解析解、根、重根、根與係數、判別式 多项式变换、配方法 方程求解——二次方程、三次方程、四次方程 笛卡儿符号法则 介值定理、費馬引理 有理函数及垂直漸近線、部分分式分解
複數代數	複數四則運算及其代數性質(封閉性、結合性、交換性、存在单位元、存在逆元和分配性)、虛數單位、實部、虛部、共軛複數、辐角、複數模數 複數平面上的幾何表達及移動點的軌跡集合 複數模數不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式 棣莫弗公式及其應用——解一元n次方程、n次單位根、三角恆等式
微积分学	極限的直觀概念（不包括極限嚴謹定義ε-δ语言）、數學常數$e$ 數列極限、無窮級數、無窮序列、單調遞增、單調遞減、單調收斂定理、斂散性(收斂、發散，不包括審斂法） 夾擠定理、不定式及洛必達法則 初等函數——代數函數、冪函數、有理函数、三角函数及反三角函数(三角恒等式)、指數函数及自然對數($ln$) 函數極限、連續函數、左導數、右導數及可微函数 求导法则——导数列表、四則運算(微分的線性、乘積法則、除法定則、倒数定则)、反函数的微分、复合函數的微分(鏈式法則)、隱函數的微分、參數方程和極坐標系方程的微分、對數微分、高阶导数(莱布尼茨法则) 羅爾定理、拉格朗日中值定理 微分應用——函數圖形描繪(截距、漸近線、拐點、驻点、極值)、曲線上某點的切線斜率及法線 微積分基本定理、黎曼積分及可積函數、不定积分（原函数）及積分常數、反常積分、積分第一中值定理 積分表、三角函数積分表、三角换元法、降次積分法、換元積分法、分部積分法、部分分式積分法 定積分應用——曲線弧长、平面面积、旋轉體的体积(圓盤法和外殼法)及旋轉曲面面积
平面解析幾何	笛卡爾坐標系、極坐標系 弦、切線及法線 圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线、双曲线、退化圆锥曲线及各參數方程，幾何特徵——離心率、焦點、准线、對稱軸 圓錐曲線在齐次坐标的矩陣表示及其行列式的判別式
向量代数及立体解析幾何	歐幾里得空間的向量运算(向量加法定律——三角形定律、平行四邊形定律及多邊形定律、純量乘法)及其代數性質(結合性、存在单位元、存在逆元)、單位向量、零向量、范数、方向餘弦、向量截點公式 點積(純量投影)、叉積及其反交換律(其范数為平行四边形的面积)、純量三重積$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$(平行六面体的體積)、向量三重積$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$、向量恆等式 向量不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式 线性组合、線性相關性 歐幾里得空間的直線方程表示——一般式、斜截式、二點式(行列式)、參數式、向量式，一点與直線的距離，兩條相交直線的相交點、兩條相交直線的夾角、兩條直線的距離 歐幾里得空間的平面方程表示——一般式、點坐標及法向量、行列式，一点與平面的距離、两个平面的夹角 向量空間及其代數性質、維度、零空間
抽象代數	群(群论)、环(環論)、域(域論)
組合數學	排列與組合的概率問題

1992年後

1992年，純粹數學科公開考試教學課程綱要《中學課程綱要–純粹數學科(高級程度)1992》發佈。

《中學課程綱要–純粹數學科(高級程度)1992》
範疇A : 代數	單元A1 數學語言 單元A2 函數 單元A3 數學歸納法 單元A4 不等式 單元A5 正整指數的二項式定理 單元A6 多項式及方程 單元A7 $\mathbb {R} ^{2}$及$\mathbb {R} ^{3}$的向量 單元A8 矩陣 單元A9 二元及三元線性方程組 單元A10 複數
範疇B : 微積分與解析幾何	單元B1 序列、級數及其極限 單元B2 極限、連續性及可微性 單元B3 微分法 單元B4 微分法的應用 單元B5 積分法 單元B6 積分法的應用 單元B7 解析幾何

擬題方式

根據香港數學教育學會(Hong Kong Association for Mathematics Education)的期刊《數學教育》(EduMath)，1970年代開始，純粹數學科公開考試以結構式問題(Structured Question)形式考核考生對數學基礎的理解、應用及解難能力，題目取材自一些未有注明內自本科課程網要出處的數學概念或公式，要求考生證明該數學命題中的數學特性、定理或引理等，並著重融會各數學領域之間的關連和數學之美。

早年只有英文版本試題，以下列表以英文為主:

數學領域	擬題的數學概念或公式	試題題號	備註
Orthogonal polynomials	Hermite polynomials Legendre polynomials Chebyshev polynomials
Polynomial sequence	Fibonacci polynomials
Sequences and series	Fibonacci sequence Harmonic series Euler–Mascheroni constant P-series
Mathematical analysis	Proof that π is irrational Proof that e is irrational Basel problem Leibniz formula for π Wallis product Viète's formula Machin-like formula Stirling's approximation Frullani integral Lipschitz continuity Integral of inverse functions Integral test for convergence Cauchy's Mean Value Theorem Fubini's theorem
Special functions	Gaussian integral Beta function Sign function
Inequality	Hölder's inequality Young's inequality for products Jensen's inequality Bernoulli's inequality Chebyshev's sum inequality Weierstrass product inequality
Lie algebra	Lie group
Arithmetic	Nearest integer function
Functional Equation	Cauchy's functional equation
Fourier analysis	Parseval's identity
Complex analysis	Linear fractional transformation
Transcendental number theory	Gelfond's constant
Combinatorics	Generating function Hockey-stick identity Vandermonde's identity Multinomial theorem
Fractional calculus	Cauchy formula for repeated integration
Calculus	Taylor's theorem Steiner's calculus problem Mean value theorems for definite integrals
Functional analysis	p-Norm
Operational calculus	Heaviside step function
Linear algebra	Vector projection Gram–Schmidt process
Matrix Algebra	Commuting matrices Cayley–Hamilton theorem Trace Kronecker product Diagonalizable matrix Eigendecomposition of a matrix Eigenvalues and eigenvectors Characteristic polynomial Matrix polynomial Nilpotent matrix Skew-symmetric matrix
Theory of equations	Cubic equation#Cardano's formula Quartic equation Newton's identities Eisenstein's_criterion
Analytic Geometry	Cardioid Limaçon Astroid Deltoid curve
Statistics	Moment

另見

• 香港中學會考附加數學科
• 香港高級補充程度會考數學與統計學
• 香港高級程度會考應用數學科
• 香港中學文憑考試數學科延伸部分
• 香港高等程度會考高級數學：香港中文大學入學試中的高等數學科
• 梁鑑添：香港高級程度會考純粹數學科參考書作者

外部連結

• Pure Mathematics Curriculum and Assessment Guide （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 純粹數學科課程及評估指引（高級程度） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 香港教育局 中學課程綱要－純粹數學科 (高級程度) (1992) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Education Bureau Syllabuses for Secondary Schools - Pure Mathematics (Advanced Level) (1992) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 香港考試及評核局 高級程度會考純粹數學 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• HKEAA ADVANCED LEVEL PURE MATHEMATICS （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 香港公共圖書館數碼館藏: 香港會考及高考試題特藏 香港高級程度會考 Pure Mathematics 純粹數學 （页面存档备份，存于互联网档案馆）